Утепление фасадов мокрый фасад цены.

оглавление

 

4. О самоподобии Золотой Пропорции.

 

 

В последнее время термин “Золотая Пропорция” прочно ассоциируется с такими математическими понятиями, как “фрактал”, “хаос”, “самоподобие”. Что же имеется в виду? Попробуем записать Золотую Пропорцию в виде непрерывной дроби:

τ = a0 +

 

Используем для этого формулу τ = 1 + τ -1 :

τ = 1 + 1 / ( 1 + τ -1 ) = 1 + 1 / ( 1 + 1 / ( 1 + τ -1 ) ) = ….. , то есть:

 

τ = 1 +

 

Получилась “вложенная” бесконечная дробь, каждое из “вложений” которого равно (“подобно”) всей дроби в целом.

За это свойство Золотую Пропорцию иногда называют “самым иррациональным числом”.

 

Поскольку мы обратились к выражению τ = 1 + τ -1 , выведем из него несколько формул.

Разложим функцию f(x) = 1 / ( 1 + x ) в ряд Тейлора в точке x = 0 :

f(x) = f(0) + f’(0)*(x-0) / 1! + f’’(0)*(x-0)2 / 2! + …..

Получился ряд:              f(x) = ∑ (-1)n x n , n = 0, 1, 2, …….

Подставим x = τ -1 :

f(τ -1) = 1 – 1/ τ + 1/ τ 2 – 1/ τ 3 + …..

С другой стороны: f(τ -1) = 1 / (1 + 1/ τ ) = 1/ τ

Получилось следующее разложение для τ -1 :

τ -1 = ∑ (-1)n τ -n = 1 – 1/ τ + 1/ τ 2 – 1/ τ 3 + ….. , n = 0, 1, 2, ……. (1)

Сложим соседние члены ряда :

1/ τ 2n – 1/ τ 2n+1 = 1/ τ 2(n+1)

То есть : τ -1 = ∑ τ -2n = 1/ τ 2 + 1/ τ 4 + ….. , n = 1, 2, ……. (2)

( Аналогичным способом, складывая 1/ τ 2n-1 и -1/ τ 2n , получим :

τ -1 = 1 - 1/ τ 3 - 1/ τ 5 - ….. , n = 1, 2, ……. (3) )

Из формулы (2) следует : τ = 1 – 1/ τ = 1 + 1/ τ 2 + 1/ τ 4 + ….. ,

то есть само З.С. в троичном представлении имеет следующую запись:

τ = 1,(1) = 1,1111111 …..

Приведем в заключение еще одно самоподобное выражение для З.П. (без док-ва):

τ =

 

далее

 

Рейтинг@Mail.ru